1.连续信号的线性、时不变性、因果性判断
假设$e_1(t)、e_2(t)、e(t)$激励信号得到的响应为$r_1(t)、r_2(t)、r(t)$，
- 线性 $\Leftrightarrow $ $C_1e_1(t)+C_2e_2(t)$激励系统得到$C_1r_1(t)+C_2r_2(t)$
- 时不变 $\Leftrightarrow $ $e(t-t_0)$激励系统得到$r(t-t_0)$
- 因果 $\Leftrightarrow $ $r(t_0)$只与$e(t),t\ge t_0$有关
2.信号类型判断
连续信号：指在连续时间范围内所定义的信号，在讨论的时间间隔内，对于任意时间值（除若干不连续点外）都给出确定的函数值。
离散信号：在时间上是离散的，只在某些不连续的规定瞬时给出函数值，在其他时间没有定义。离散信号的振幅值可以是连续值，也可以是离散值：当离散信号振幅值是连续值时，称为抽样信号，当离散信号振幅值是离散值时，称为数字信号。
3.分解直流、交流分量
信号可分解为直流分量和交流分量的和
$$ f\left( t\right) =f_{D}+f_{A}\left( t\right) \\ $$其中直流分量$f_D$是信号在其持续时间内的平均值
$$ f_{D}=\dfrac{1}{t_{2}-t_{1}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}f\left( t\right) dt $$对于周期信号而言，直流分量是其一个周期内的平均值
$$ f_{D}=\dfrac{1}{T}\int _{t_1}^{t_{1}+T}f\left( t\right) dt $$4.冲激信号的抽样特性
$$ \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\delta \left( t-t_{0}\right) dt=\int _{-\infty }^{\infty }f\left( t_{0}\right) \delta \left( t-t_0\right) dt=f\left( t_{0}\right) $$5.卷积的信号分解思想
卷积（convolution）方法的原理就是将信号分解为冲激信号之和，借助系统的冲激响应，从而求解系统对任意激励信号的零状态响应。
6.奇异函数平衡法求单位冲击响应
求特征根
写出齐次根
$$ r_1 \ne r_2 \ \ \Leftrightarrow \ \ h(t) = (A_1e^{r_1t}+A_2e^{r_2t})u(t) \\ r_1 = r_2 \ \ \Leftrightarrow \ \ h(t) = (A_1+A_2t)e^{r_1t}u(t) \\ r = a \pm bj\ \ \Leftrightarrow \ \ h(t) = e^{at}(A_1\cos(bt)+A_2\sin(bt))u(t) $$对应求导，代入原式
奇异函数比较系数
解得$A_1,A_2$
写出解（加上特解）
7.傅里叶变换的信号分解思想
将一个连续信号分解成一些正弦波（即基本频率）的加权和
8.傅立叶变换的微分特性
$$ \begin{array}{c} 时域微分：\mathcal F[\frac{d}{dt}f(t)]=j\omega F(\omega) \\ 频域微分：\mathcal F^{-1}\left[ \dfrac{d}{d\omega }F\left( \omega \right) \right] =-jtf\left( t\right) \end{array} $$9.傅立叶变换的卷积特性
$$ 时域卷积：\mathcal F [f_1(t)*f_2(t)]=F_1(\omega)F_2(\omega) \\ 频域卷积：\mathcal F [f_1(t)f_2(t)]=\frac{1}{2\pi}F_1(\omega)*F_2(\omega) $$10.时域抽样定理，频域卷积定理
对于频谱函数只在有限区间$(-\omega_m,\omega_m)$内的频谱受限信号$x(t)$，最低抽样频率为$2f_m(其中\omega_m=2\pi f_m)$能保证无失真的从抽样信号中恢复出原信号。最低抽样频率称为“奈奎斯特频率”，最大抽样间隔为“奈奎斯特间隔”。
$f_s(t)=f(t)s(t)$ 求最大频率（$s(t)$为抽样信号）
11.求拉普拉斯逆变换
部分分式展开法
$$ F(s)=\dfrac{A(s)}{B(s)}=\sum_{i=1}^{n} \frac{K_i}{s-s_i} \\ K_i=(s-s_i)F(s) |_{s=s_i}\\ \\ f(t)=\sum_{i=1}^{n} K_ie^{s_it} $$$$ F(s)=\dfrac{A(s)}{B(s)[(s+\alpha)^2+\beta^2]}=\frac{K_1}{s+\alpha-j\beta} + \frac{K_2}{s+\alpha+j\beta} \cdots \\ \\ f(t)=e^{-\alpha t}(K_1e^{j\beta t}+K_2^*e^{-j\beta t})=2e^{-\alpha t}[Acos(\beta t)-Bsin(\beta t)] \\ K_1=A+jB,K_2=A-jB=K_1^* $$
12.拉普拉斯变换时域延时定理
$$ \mathcal L [f(t-t_0)u(t-t_0)]=e^{-st_0}F(s) $$13.系统函数的零极点，判断滤波特性；是否是最小相移网络
系统函数$H(s)$是系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比。
$H(s)$分子上有什么就通什么频率。
$H(s)=\frac{a}{bs+c}$ 分子上有“低次”，所以是低通。
$H(s)=\frac{as^2}{ bs^2+cs+d}+3$ 分子上有“高次”，所以是高通。
$H(s)=\frac{as}{bs^2+cs+d}$ 分子上有“中间次”，所以是带通。
$H(s)=\frac{(j\omega - j\omega_0) \cdots}{\cdots}$ 分子上当$\omega = \omega_0$时阻断，所以是带阻。
零点仅位于左半平面或者$j\omega$轴的网络函数称为“最小相移网络”。
14.系统物理可实现性
时域特性：
$$ h(t)=0,t<0 $$频域特性：
$$ \left.\begin{matrix} \int_{-\infty }^{\infty} |{H(j\omega )}|^2 d\omega < \infty \\ \int_{-\infty }^{\infty} \frac{|ln|{H(j\omega )}||}{1+\omega ^2} d\omega < \infty \end{matrix}\right\}佩利-维纳准则（必要条件） $$网络函数的值不能为0
幅度特性呈高斯函数的网络不可实现
对于有理多项式函数构成的幅度特性是可实现的
15.信号恢复的信号分解思想
- 冲激抽样：
- 抽样信号的频谱是原信号频谱的周期延拓
- 为了恢复原信号，需要通过理想低通滤波器
- 零阶抽样保持：
- 取值保持一段时间(用直线代替)
- 为了恢复原信号，需要通过带补偿的低通滤波器
- 一阶抽样保持：
- 两个抽样点之间连线(用斜线代替)
- 为了恢复原信号，需要通过带补偿的低通滤波器
- 欠抽样：产生混叠现象
16.信号周期性判断
注意数字信号的离散性
17.离散时间系统的因果性、稳定性
- 因果性 $\Leftrightarrow$ $h(n)=0,\forall n<0$
- 稳定性 $\Leftrightarrow$ $\sum _{n=-\infty}^{\infty} |h(n)| < \infty$
18.卷积和
19.z变换定义
定义：
$$ X(z)=\sum _{n=-\infty}^{\infty} x(n)z^{-n} $$收敛域：
满足绝对可和条件，即幂级数收敛
$$ \sum _{n=-\infty}^{\infty} |x(n)z^{-n}| < \infty $$的$z$的取值范围
20.z变换的线性性质
若
$$ \mathcal Z[x(n)]=X(z) \quad (R_{x1} < \lvert z \rvert < R_{x2}) \\ \mathcal Z[y(n)]=Y(z) \quad (R_{y1} < \lvert z \rvert < R_{y2}) $$则
$$ \mathcal Z [ax(n)+by(n)] = aX(z)+bY(z) \quad (max(R_{x1},R_{y1}) < \lvert z \rvert < min(R_{x2},R_{y2})) $$21.傅立叶变换
21.1典型信号的傅立叶变换和傅里叶变换的性质
| 信号名称 | $f(t)$ | $F(\omega)$ |
|---|---|---|
| *单边指数脉冲 | $Ee^{-at}u(t)$ | $\frac{E}{a+j\omega}$ |
| 双边指数脉冲 | $Ee^{-a\lvert t \rvert}$ | $\frac{2aE}{a^2+\omega ^2}$ |
| **矩形脉冲 | $E(u(t+\tau)-u(t-\tau))$ | $2E\tau Sa(\omega \tau)$ |
| **抽样信号 | $Sa(\omega _ct)=\frac{\sin{(\omega_ct})}{\omega_ct}$ | $\frac{\pi}{\omega_c}(u(\omega+\omega_c)-u(\omega-\omega_c))$ |
| 冲击函数 | $E\delta(t)$ | $E$ |
| **阶跃函数 | $Eu(t)$ | $\frac{E}{j\omega}+\pi E\delta (\omega)$ |
| *符号函数 | $Esgn(t)$ | $\frac{2E}{j\omega}$ |
| **直流信号 | $E$ | $2\pi E \delta (\omega)$ |
| 余弦信号 | $E \cos(\omega _0t)$ | $E \pi [\delta (\omega+\omega_0)+\delta(\omega - \omega_0)]$ |
| 正弦信号 | $E\sin (\omega_0t)$ | $j\pi E[\delta (\omega+\omega_0)-\delta(\omega - \omega_0)]$ |
| 性质 | 时域$f(t)$ | 频域$F(\omega )$ |
|---|---|---|
| 线性 | $\sum_{i=1}^{n}a_if_i(t)$ | $\sum_{i=1}^{n}a_iF_i(\omega)$ |
| 对称性 | $F(t)$ | $2\pi f(-\omega)$ |
| 尺度变换 | $f(at)$ | $\frac{1}{ |
| 反褶 | $f(-t)$ | $F(-\omega)$ |
| 时移 | $f(t-t_0)$ | $F(\omega )e^{-j\omega t_0}$ |
| 频移 | $f(t)e^{j\omega_0t}$ | $F(\omega-\omega_0)$ |
| 时域微分 | $\frac{d^nf(t)}{dt^n}$ | $(j\omega)^nF(\omega)$ |
| 频域微分 | $(-jt)^nf\left( t\right)$ | $\dfrac{d^n}{d\omega ^n}F\left( \omega \right)$ |
| 时域积分 | $\int_{-\infty}^{t}f(\tau)d\tau$ | $\frac{1}{j\omega}F(\omega)+\pi F(0)\delta (\omega)$ |
| 时域卷积 | $f_1(t)*f_2(t)$ | $F_1(\omega)F_2(\omega)$ |
| 频域卷积 | $f_1(t)f_2(t)$ | $\frac{1}{2\pi}F_1(\omega)*F_2(\omega)$ |
21.2相位谱，幅度谱
把各个分量的幅度$|F_n|$或$ C_n $随着频率$nω_1$的变化称为信号的幅度谱。
把各个分量的相位 $φ_n $随角频率 $nω_1$ 变化称为信号的相位谱。
$$ F(\omega) = |F(\omega)|e^{j\varphi (\omega)} \\ |F(\omega)|=\arctan \frac{Im[F(\omega)]}{Re[F(\omega)]} $$21.3傅立叶变换和傅立叶逆变换定义
$$ F(\omega)=\mathcal F (f(t)) = \int _{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t} dt \\ f(t) = \mathcal F^{-1} [F(\omega)] = \frac{1}{2\pi} \int _{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j\omega t} d\omega $$22.求单位冲激响应
冲激响应$h(t)$是系统函数$H(s)$的逆变换，而系统函数是系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比，即$H(s)=\frac{R(s)}{E(s)}$。
| $f(t) \quad (t>0)$ | $F(s)=\mathcal L [f(t)]$ |
|---|---|
| $\delta (t)$ | 1 |
| $u(t)$ | $\frac{1}{s}$ |
| $e^{-at}$ | $\frac{1}{s+a}$ |
| $t^n$ | $\frac{n!}{s^{n+1}}$ |
| $e^{-at}\sin (\omega t)$ | $\frac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2}$ |
| $e^{-at}\cos (\omega t)$ | $\frac{s+a}{(s+a)^2+\omega^2}$ |
| $t^ne^{-at}$ | $\frac{n!}{(s+a)^{n+1}}$ |
| 性质 | 时域 | s域 |
|---|---|---|
| 线性 | $\sum_{i=1}^{n}a_if_i(t)$ | $\sum_{i=1}^{n}a_iF_i(s)$ |
| 时域微分 | $\frac{d^nf(t)}{dt^n}$ | $s^nF(s)-s^{n-1}f^{(1)}(0)-s^{n-2}f^{(2)}(0)-\cdots -f^{(n)}(0)$ |
| 时域积分 | $\int _{-\infty}^{\tau }f(\tau)d\tau$ | $\frac{F(s)}{s}+\frac{f^{(-1)}(0_-)}{s}$ |
| 延时 | $f(t-t_0)u(t-t_0)$ | $e^{-st_0}F(s)$ |
| s域平移 | $f(t)e^{-at}$ | $F(s+a)$ |
| 尺度变换 | $f(at)$ | $\frac{1}{a}F(\frac{s}{a})$ |
| 卷积 | $f_1(t)*f_2(t)$ | $F_1(s)F_2(s)$ |
| s域微分 | $-tf(t)$ | $\frac{dF(s)}{ds}$ |
| s域积分 | $\frac {f(t)}{t}$ | $\int _{s}^{\infty} F(s)ds$ |
23.利用时域卷积定理，求卷积和
| $x(n)$ | $X(z)$ |
|---|---|
| $\delta(n-a)$ | $z^{-a}$ |
| $u(n)$ | $\frac{z}{z-1}$ |
| $a^nu(n) \quad( \lvert z \rvert > \lvert a \rvert )$ | $\frac{z}{z-a}$ |
| $\frac{(n+1)(n+2)\cdots (n+m)}{m!}a^nu(n)$ | $\frac{z^{m+1}}{(z-a)^{m+1}}$ |
| $-a^nu(-n-1) \quad( \lvert z \rvert < \lvert a \rvert )$ | $\frac{z}{z-a}$ |
| $-\frac{(n+1)(n+2)\cdots (n+m)}{m!}a^nu(-n-1)$ | $\frac{z^{m+1}}{(z-a)^{m+1}}$ |
| $nu(n)$ | $\frac{z}{(z-1)^2}$ |
| $na^nu(n) \quad( \lvert z \rvert > \lvert a \rvert )$ | $\frac{az}{(z-a)^2}$ |
| $\frac{n(n-1)\cdots (n-m+1)}{m!}u(n)$ | $\frac{z}{(z-1)^{m+1}}$ |
| 序列 | z变换 | 收敛域 |
|---|---|---|
| $x(-n)$ | $X(z^{-1})$ | $R_{x1} < \lvert z \rvert^{-1} < R_{x2}$ |
| $a^nx(n)$ | $X(a^{-1}z)$ | $ \lvert a \rvert R_{x1} < \lvert z \rvert < \lvert a \rvert R_{x2}$ |
| $nx(n)$ | $-z\frac{dX(z)}{dz}$ | $R_{x1} < \lvert z \rvert < R_{x2}$ |
| $x(n-m)$ | $z^{-m}X(z)$ | $R_{x1} < \lvert z \rvert < R_{x2}$ |
| $x(n)*h(n)$ | $X(z)H(z)$ | $max(R_{x1},R_{h1}) < \lvert z \rvert < min(R_{x2},R_{h2})$ |
