行列式
二阶与三阶行列式
逆序：某一对元素的先后次序和标准次序（例如从小到大）不同
逆序数可分为奇排列和偶排列
n阶行列式
上（下）三角行列式
$$ \left | \begin {matrix} a_{11} \\a_{21} & a_{22} &&0\\ \vdots &\vdots&\ddots \\a_{n1} &a_{n2} &\cdots &a_{nn} \end{matrix} \right | = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} $$对角行列式
$$ \left | \begin {matrix} a_{11} \\ & a_{22} && \\ & &\ddots \\ & & &a_{nn} \end{matrix} \right | = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} $$行列式性质
行列式与其转置行列式相等
转置：
$$ D= \left | \begin {matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{matrix} \right | \ , \ D^T= \left | \begin {matrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1}\\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \end{matrix} \right | $$对换行列式两行（列），行列式变号
推论：如果行列式有两行（列）完全相同，行列式等于零
行列式中某一行（列）中所有元素都乘以同一数k，等于用k乘以此行列式
推论：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号外面
行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零
若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则可拆分为两个行列式之和
把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变
按行按列展开
范德蒙德行列式
$$ D= \left | \begin {matrix} 1 & 1 & \cdots & 1\ x_{ 1} & x_{ 2} & \cdots & x_{ n}\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\ x_{ 1}^{n-1} & x_{ 2}^{n-1} & \cdots & x_{n}^{n-1} \end{matrix} \right |
\sideset{}{}\prod_{n\ge i>j \ge 2} (x_i-x_j) $$
矩阵及其运算
线性方程组和矩阵
等式右侧全为零时为齐次，不全为零时为非齐次
矩阵运算
- 矩阵乘法（满足左矩阵的列数等于右矩阵的行数才可）
$c_{ij}=\sum_{k=1}^s a_{ik}b_{kj}\\(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)$
乘法不满足交换律，但满足结合律和分配率
矩阵转置 $A^T$
$$ (A^T)^T=A\\ (A+B)^T=A^T+B^T\\ (\lambda A)^T=\lambda A^T\\ (AB)^T=B^TA^T $$方阵的行列式 $det A \ or \ |A|$
$$ |A^T|=|A|\\ |\lambda A|=\lambda ^n|A|\\ |AB|=|A||B| $$
伴随(矩)阵
行列式中各个元素的代数余子式代替其原本的位置所构成的矩阵
$$ A= \left ( \begin {matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{matrix} \right ) ， A^*= \left ( \begin {matrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n}\\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nn} \end{matrix} \right )\\ 其中A_{ij}=a_{ij}的代数余子式\\ AA^*=A^*A=|A|E $$逆矩阵
若AB=BA=E，则$B=A^{-1}$
定理
若A可逆，则$|A| \ne 0$
若$|A| \ne 0$，则A可逆，且$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$
当|A|=0时，A称为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵
克拉默法则
如果线性方程组的系数矩阵A的行列式不等于零，则方程组有唯一解
$$ x_1=\frac{|A_1|}{|A|}，x_2=\frac{|A_2|}{|A|}，\cdots，x_n=\frac{|A_n|}{|A|} $$其中$A_j(j=1,2,\cdots,n)$是把A中第 j 列的元素用方程组右端的常数项替代后得到的 n 阶矩阵
矩阵分块
将矩阵中某一部分看做一个新的矩阵（子阵）来计算
矩阵的初等变换与线性方程组
矩阵的初等变换
初等行变换
- 对换两行（$r_i \leftrightarrow r_j$）
- 以数$k \ne 0$乘某一行中的所有元（$r_i \times k$）
- 把某一行所有元的k倍加到另一行对应元上去（$r_i+kr_j$）
**矩阵等价记作 ~ **
行阶梯型矩阵
行阶梯型矩阵
1）阶梯线，线下方全是0
2）每个台阶只有1行
3）阶梯线的竖线后是非0行的第一个非0元素（首非零元）
行最简矩阵
1）非0行第一个元素都是1
2）非0元素所在的列其他元素都是0
标准形
左上角为一个单位矩阵，其余元都为零
初等矩阵
定义：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵
表示方法：
- 第i，j行对换 ==> E(i,j)
- 第i行乘以不为零的数k ==> E(i(k))
- 第j行乘以数k加到第i行上 == > E(ij(k))
性质
设$A_{m\times n}$，对A实施一次初等行变换等效于在A左边乘相应的m阶初等矩阵；
对A实施一次初等列变换等效于在A右边乘相应的n阶初等矩阵；
方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵使其相乘等于A
方阵A可逆的充要条件是A~E
应用
- $(A\ E)=(E\ A^{-1})$
- $A^{-1}(A\ B)=(E \ AB)$
矩阵的秩
定义
前置：在m*n矩阵A中，任意决定α行和β列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式
矩阵A的最高阶非零子式的阶数r为矩阵的秩，记作$R(A)=r$
性质
$R(A)<=min(行数，列数)$
$R(A^T)=R(A)$
n阶可逆矩阵的秩为n，称为满秩矩阵；不可逆矩阵（奇异矩阵）称为降秩矩阵
初等变换不改变矩阵的秩
即 若A~B，则$R(A)=R(B)$
推论 若可逆矩阵P、Q使$PAQ=B$，则$R(A)=R(B)=R(PAQ)$
矩阵的行阶梯型矩阵的非零行数为矩阵的秩
$\max\{R(A),R(B)\} \le R(A,B) \le R(A)+R(B)$
$R(A+B) \le R(A)+R(B)$
$R(AB)\le \min \{R(A),R(B)\}$
线性方程组的解
解的判断(对于n元线性方程组Ax=b)
- 无解<==>R(A)<R(A,b)
- 有唯一解<==>R(A)=R(A,b)=n
- 有无限多解<==>R(A)=R(A,b)<n
解法
齐次线性方程组
1）化为行最简形矩阵
2）以自由变量（n-r个）为参数表示另外的未知数
非齐次线性方程组
1）化为行阶梯型矩阵
2）判断$4R(A)?=R(A,b)$，成立则可解，否则无解
向量组的线性相关性
向量组及其线性组合
定义：
向量组：若干个同维数的列（行）向量所组成的集合
线性组合：给定向量组$A:a_1,a_2,\cdots,a_m$，对于任意一组实数$k_1,k_2,\cdots,k_m$，表达式$k_1a_1+k_2a_2+\cdots+k_ma_m$称为向量组A的一个线性组合，$k_1,k_2,\cdots,k_m$称为这个线性组合的系数
线性表示：如果向量$b=k_1a_1+k_2a_2+\cdots+k_ma_m$则称向量$b$能由向量组A线性表示，即方程组$x_1a_1+x_2a_2+\cdots+x_ma_m=b$有解；如果向量组B中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示
向量组等价：设有两个向量组A,B，若两个向量组能相互线性表示，则这两个向量组等价
定理：
- $向量b能由向量组A线性表示<==>R(A)=R(A,b)$
- $向量组B能由向量组A线性表示<==>R(A)=R(A,B)==>R(A)\ge R(B)$
- $向量组B和向量组A等价<==>R(A)=R(B)=R(A,B)$
- $若C=AB，则C的列向量组能由A的列向量组表示；C的行向量组能由B的行向量组表示$
向量组的线性相关性
定义
给定向量组$A:a_1,a_2,\cdots,a_m$，如果存在不全为零的数$k_1,k_2,\cdots,k_m$使$k_1a_1+k_2a_2+\cdots+k_ma_m=0$，则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关
判断
向量组A线性相关<==>R(A)<向量个数m
向量组A线性无关<==>R(A)=向量个数m（满秩矩阵）
性质
向量组线性相关，则至少有一个向量可以由其他向量线性表示
线性相关的向量共面（几何意义）
若向量组线性相关，则增加任意个向量后的向量组也线性相关
若向量组线性无关，则减少任意个向量后的向量组也线性无关
当向量维数小于向量个数时一定线性相关。
特别的：n+1个n维向量一定线性相关
若向量组A线性无关，而向量组（A,b）线性相关，则向量b一定可由向量组A线性表示，且表示式是惟一的。
向量组的秩
定义
从向量组A中选出r个向量$a_1,a_2,\cdots,a_r$，满足（i）向量组$A_0:a_1,a_2,\cdots,a_r$线性无关. （ii）A中任意r+1个向量都线性相关. 则称向量组$A_0$为向量组A的一个最大线性无关向量组（最大无关组），r为向量组A的秩，记作$R_A$
等价定义：向量组$A_0$是向量组A的一个部分组，满足（i）$A_0$线性无关. （ii）A中任一向量都能由$A_0$线性表示
线性方程组的解的结构
齐次线性方程组（Ax=0）
通解：$x=k_1\xi _1+k_2\xi _2+\cdots+k_{n-r}\xi _{n-r}$
解集的最大无关组称为其基础解系（$\xi _1,\xi _2 ,\cdots,\xi _t$）
设$R(A_{m\times n})=r$则$Ax=0$的解集S的秩为n-r
非齐次线性方程组（Ax=b）
通解：$x=k_1\xi _1+k_2\xi _2+\cdots+k_{n-r} \xi _{n-r}+\eta ^*$
其中$\eta^*$为一个特解，基础解系可由对应齐次线性方程组解出
即 非齐次的解 = 齐次的解 + 非齐次的一个特解
向量空间
对于向量加法和数乘封闭的向量集合称为向量空间
若r个向量空间V中的向量满足（i）$a_1,a_2,\cdots,a_r$. (ii) V中任意向量都可由$a_1,a_2,\cdots,a_r$线性表示，则称$a_1,a_2,\cdots,a_r$为向量空间的一个基，并称V为r维向量空间
线性无关的向量组就为基
设$A=(a_1,a_2,a_3),B=(b_1,b_2,b_3)$其中$a_1,a_2,a_3;b_1,b_2,b_3$为两组基，则$P=A^{-1}B$为过渡矩阵；向量在旧基和新基中坐标为$y_1,y_2,y_3和z_1,z_2,z_3$，则坐标变换公式为$\left ( \begin {matrix}z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end {matrix} \right )=P^{-1}\left ( \begin {matrix}y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end {matrix} \right )$
相似矩阵及二次型
向量的内积、长度及正交性
内积
设n维向量
$$ x=\left ( \begin {matrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end {matrix} \right )， y=\left ( \begin {matrix}y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end {matrix} \right )\\ \\ [x,y]=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n=x^Ty\\ \\ [x,y]=[y,x]\\ [\lambda x,y]=\lambda[x,y]\\ [x+y,z]=[x,z]+[y,z]\\ 当x=0时，[x,x]=0;当x\ne 0时，[x,x]>0\\ [x,y]^2\le [x,x][y,y] $$长度(范数)
$$ ||x||=\sqrt{[x,x]}=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}\\ \\ ||x||\ge0\\ ||\lambda x||=|\lambda|\ ||x|| $$正交性
当[x,y]=0时，x与y正交
一组两两正交的非零向量称为正交向量组
正交向量组线性无关
由单位向量组成的正交向量组称为标准正交基
如果n阶矩阵A满足$A^TA=E\ (A^{-1}=A^T)$那么称A为正交矩阵<==>A的列向量都是单位向量且两两正交
施密特正交化
设$a_1,a_2,\cdots,a_r$是向量空间V的一个基
取：
$$ b_1=a_1\hfill \\ b_2=a_2-\frac{[b_1,a_2]}{||b_1||^2}b_1 \hfill \\ \cdots \cdots \cdots \hfill \\ b_r=a_r-\frac{[b_1,a_r]}{||b_1||^2}b_1-\frac{[b_2,a_r]}{||b_2||^2}b_2-\cdots -\frac{[b_{r-1},a_r]}{||b_{r-1}||^2}b_{r-1}\\ \\ 再单位化即可得到标准正交基\hfill $$方阵的特征值与特征向量
设A是n阶矩阵，如果数$\lambda$和n维非零列向量x使关系式$Ax=\lambda x$成立，那么$\lambda$称为A的特征值，x称为A的对应于特征值$\lambda$的特征向量
特征方程：
$$ \left | \begin {matrix} a_{11}-\lambda & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22}-\lambda & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}-\lambda \end{matrix} \right | =0 $$特征多项式：
特征方程左端关于$\lambda$的多项式$f(\lambda)$
求法
- 解特征方程，得到n个解（重根重复计算）
- 将n个解分别带入$(A-\lambda E)x=0$中解出对应特征向量$p$
性质
若$\lambda$为方阵A的特征值，则（i）$\lambda^2$是$A^2$的特征值。（ii）当A可逆时，$\frac{1}{\lambda}$是$A^{-1}$的特征值
$\varphi(\lambda)=a_0+a_1\lambda +\cdots+a_m\lambda^m是\varphi(A)=a_0E+a_1E+\cdots+a_mA^m$的特征值
若方阵的特征值各不相等，则其对应的特征向量线性无关
相似矩阵
$P^{-1}AP=B$则称B是A的相似矩阵，对A进行运算$P^{-1}AP$称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为相似变换矩阵
若n阶矩阵A与对角矩阵
$$ \varLambda=\left( \begin {matrix} \lambda_1 \\ & \lambda_2\\ &&\ddots\\ &&&\lambda_n \end {matrix}\right ) $$相似，则$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$是A的n个特征值
A ~$ \varLambda$ <==> A有n个线性无关的特征向量
二次型及其标准形
二次型：含有n个变量的二次齐次函数
标准形：只含平方项的二次型
规范形：系数全为1，-1，0的标准形
二次型的矩阵$f=x^TAx$其中A为对称矩阵
任给二次型f，总有正交变换$x=Py$，使f化为标准形$f=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2$其中$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$是f的矩阵的n个特征值
正定二次型
二次型标准形中系数正数的个数恒定–惯性定理
正（负）系数个数–正（负）惯性指数
正定–特征值全为正
正定–各阶主子式都为正
