一 绪论
1 数字通信系统
1.1 数字通信系统的性能指标
- 有效性: 信息速率(码元速率)或频带利用率
- 可靠性: 差错率(误码率)
码元传输速率 $R_B$ 简称传码率，又称符号速率。它表示单位时间内传输码元的数目，单位是波特（Baud），记为B。
例如，若1秒内传2400个码元，则传码率为2400B。
信息传输速率 $R_b$ 简称传信率，又称比特率。它表示单位时间内传递的平均信息量或比特数，单位是比特/秒，可记为bit/s、b/s或bps。
$$ R_b = R_B \times H \ \ (bps) $$式中，$H$ 是信源中每个符号所含的平均信息量（熵）1。
等概传输时，熵有最大值，信息速率也达到最大，即:
$$ R_b = R_B \times \log_2 M \ \ (bps) $$式中，$M$ 为符号的进制数。
二进制的码元速率和信息速率在数量上相等
频带利用率是比较不同通信系统有效性的指标，它定义为单位带宽（每赫兹）内的传输速率
$$ \eta _b = \frac{R_b}{B} \;\;(bps/Hz) \quad 或 \quad \eta = \frac{R_B}{B} \;\;(B/Hz) $$$$ P_e = \frac{错误码元数}{传输总码元数} $$$$ P_e = \frac{错误比特数}{传输总比特数} $$2 常见调制方式
| 调制方式 | 用途 | ||
| 连续波调制 | 模拟调制(线性调制) | 常规双边带调幅AM | 广播 |
| 双边带调幅DSB | 立体声广播 | ||
| 单边带调幅SSB | 载波通信、无线电台、数据传输 | ||
| 残留边带调幅VSB | 电视广播、数据传输、传真 | ||
| 模拟调制(非线性调制) | 顿率调制FM | 微波中继、卫星通信、广播 | |
| 相位调制PM | 中间调制方式 | ||
| 数字调制 | 振幅键控ASK | 数据传输 | |
| 频移键控FSK | 数据传输 | ||
| 相移键控PSK,DPSK,QPSK | 数据传输、数字微波、空间通信 | ||
| 其他高效数字调制QAM, MSK | 数字微波、空间通信 | ||
| 脉冲调制 | 脉冲模拟调制 | 脉幅调制PAM | 中间调制方式,遥测 |
| 脉宽调制PDM(PWM) | 中间调制方式 | ||
| 脉位调制PPM | 遥测、光纤传输 | ||
| 脉冲数字调制 | 脉码调制PCM | 市话、卫星、空间通信 | |
| 增量调制DM(△M) | 军用、民用数字电话 | ||
| 差分脉码调制 DPCM | 电视电话、图像编码 | ||
| 其他语音编码方式ADPCM | 中速数字电话 | ||
二 信道
1 信道分类
| 信道 | 狭义信道 | 有线信道 | |
| 无线信道 | |||
| 广义信道 | 调制信道 | 恒参信道 | |
| 随参信道 | |||
| 编码信道 | 有记忆信道 | ||
| 无记忆信道 | |||
2 信道的数学模型
时变信道:
$$ e_o(t)=k(t)e_i(t)+n(t) $$其中$k(t)$称为乘性干扰, $n(t)$称为加性干扰.
- 若$k(t)$作随机变化，故又称信道为随参信道
- 若$k(t)$变化很慢或很小，则称信道为恒参信道
无记忆信道: 前后码元发生的错误是相互独立的
3 信道特性对信号传输的影响
恒参信道
$$ H( \omega ) = \lvert H( \omega ) \rvert e^{j \varphi ( \omega ) } $$无失真传输条件:
- 幅频特性为常数(水平直线)
- 相频特性为一条直线
随参信道
衰落: 信号包络因传播发生起伏变化的现象称为衰落. 可分为快衰落和慢衰落.
快衰落: 衰落起伏周期在秒或秒以下，且能与数字信号的一个码元周期相比较，这样的衰落称为快衰落. 多径传播
慢衰落: 衰落起伏周期是若干天或若干小时. 天气, 季节变化
频率选择性衰落：与频率有关的衰落称为频率选择性衰落。多径传播导致频率选择性衰落。
相关带宽为: $\Delta f=1/ \tau $(其中$\tau$为两条路径时间差) 为避免信号由于频率选择性衰落而衰减，载波频率应选在相关带宽中心位置
4 信道中的噪声
信道中存在的不需要的电信号称为噪声。信道中的噪声一般只考虑加性噪声。热噪声是电阻性元器件中的电子热运动产生的，是通信系统中的主要考虑的噪声。
高斯白噪声: 噪声幅值的统计特性服从高斯分布，功率谱密度在所有频率范围内是常数的噪声称为高斯白噪声。
5 信道容量
信道容量指信道能够传输的最大平均信息速率.
$$ C_t = B \log_2(1+\frac{S}{N})=B \log_2(1+\frac{S}{n_0B}) $$其中$B$为带宽, $S$为信号平均功率, $N$为噪声功率, $S/N$为信噪比, $n_0$为噪声的单边功率谱密度2
信噪比一般使用单位dB表示, 换算方式为$n \; \mathrm {dB} = 10lg \frac{S}{N}$
三 模拟调制系统
1 幅度调制
调制信号
AM调幅调制
时域表达式:
$$ \begin{aligned} s_{A M}(t)&= {\left[A_{0}+m(t)\right] \cos \omega_{c}(t) } \\ & =A_{0} \cos \omega_{c}(t)+m(t) \cos \omega_{c}(t) \end{aligned} $$频域表达式:
$$ S_{AM}(\omega ) = \pi A_0 [\delta (\omega +\omega _c)+\delta (\omega -\omega _c)] +\frac{1}{2}[M(\omega +\omega _c)+M(\omega -\omega _c)] $$带宽:
$$ B_{AM}=2B_m=2f_H $$已调信号功率为:
$$ P_{AM}=\frac{A_0^2}{2}+\frac{\overline{m^2(t)} }{2}=P_c+P_s $$$P_c$为载波功率, $P_s$为边带功率
调制效率:
$$ \eta _{AM} = \frac{P_s}{P_{AM}} $$在$m(t)_{max}=A_0$(满调幅)下, 调制效率最大为$1/3$
可以使用包络检波或相干解调
DSB双边带调制
去除AM信号中的直流载波分量
时域表达式:
$$ s_{DSB}(t) = m(t) \cos \omega_{c}(t) $$频域表达式:
$$ S_{DSB}(\omega ) = \frac{1}{2}[M(\omega +\omega _c)+M(\omega -\omega _c)] $$带宽:
$$ B_{DSB}=B_{AM}=2B_m=2f_H $$已调信号功率为:
$$ P_{DSB}=\frac{\overline{m^2(t)} }{2}=P_s $$可以使用相干解调
SSB单边带调制
去除DSB信号中一条边带
时域表达式: (相移法)
$$ s_{SSB}(t) = \frac{1}{2} m(t) \cos \omega _c t \mp \frac{1}{2} \widehat{m}(t)\sin \omega _c t $$$\wedge$为希尔伯特变换: $A_m \widehat{\cos } \omega _m t = A_m \sin \omega _m t$
频域表达式: (滤波法)
$$ S_{SSB} = S_{DSB}(\omega ) \; \cdot \; H(\omega ) $$$H(\omega)$为可滤去某一边带的带通滤波器的传输函数
带宽:
$$ B_{SSB}=\frac{1}{2} B_{DSB}=f_H $$已调信号功率为:
$$ P_{SSB}=\frac{1}{2} P_{DSB} =\frac{\overline{m^2(t)} }{4} $$可以使用相干解调
解调
相干解调
- 适用于所有线性调制信号的解调
- 需要一个与载波信号严格同频同相的相干载波
包络检波
抗噪声性能
$$ \frac{S_o}{N_o} = G \frac{S_i}{N_i} $$其中$G$称为调制制度增益或信噪比增益, $N_i = n_0B$2
DSB调制制度增益：$G=2$
SSB调制制度增益：$G=1$
AM调制制度增益：$G \le 2/3$
相干解调下：$N_o=1/4N_i$
包络检波下：$S_o= \overline{m^2(t)}=2P_s;\ N_o=N_i$(大信噪比下)
门限效应: 当包络检波器的输入信噪比降到一个特定数值后，输出信噪比急剧下降。门限效应是由包络检波器的非线性解调作用所引起的。相干解调的方法解调各种线性调制信号时不存在门限效应。
噪声计算题
设某信道具有均匀的双边噪声功率谱密度$Pn(f)=0.5×10^{-11} \mathrm {W/Hz} $，在该信道中传输抑制载波的双边带信号，并设调制信号$m(t)$的频带限制在$5 \mathrm {kHz}$，而载波为$100\mathrm {kHz}$，发射信号功率$S_T$为$60\mathrm {dBm}$，信道（指调制信道）损耗$α$为$70\mathrm {dB}$，试确定：
（1）该理想带通滤波器的中心频率和通带宽度；
（2）解调器输入端的信噪功率比；
（3）解调器输出端的信噪功率比；
（4）解调器输出端的噪声功率谱密度。
解答:
（1）为保证信号顺利通过并有效滤除噪声，带通滤波器的宽度等于已调信号的带宽， 即$B=2f_H=2 \times 5 \mathrm {kHz}=10 \mathrm {kHz}$，带通滤波器中心频率为$100 \mathrm {kHz}$
（2）解调器输入端噪声功率为：$N_{i}=2P_{n}\left( f\right) B=10^{-7}W$
$$ \begin{aligned} 60dBm=10 \lg {S_T} \qquad &\Rightarrow \qquad S_T=10^3W \\ 70dB=10\lg \dfrac{S_T}{S_i} \qquad &\Rightarrow \qquad S_i=10^{-4}W \end{aligned} $$输入信噪比为: $\frac{S_i}{N_i}=1000$
（3）$\because G_{DSB}=2 \quad \therefore \frac{S_o}{N_o}=2000$
（4）相干解调时，输出的噪声功率是输入噪声功率的1/4，即：$N_o=1/4N_i = 2.5\times 10^{-8}W$ $\therefore P_o(f)=\frac{N_o}{B}=5\times 10^{-12} W/Hz$
2 非线性调制
调制信号
角度调制信号一般表达式为:
$$ s_m(t)=A \cos [\omega _c t + \varphi (t)] $$其中$[\omega _c t + \varphi (t)]$称为瞬时相位, $\varphi (t)$称为瞬时相位偏移
PM相位调制
相位调制指瞬时相位偏移随调制信号$m(t)$作线性变化, 即
$$ s_{PM}(t)=A \cos [\omega _c t + K_p m(t)] $$在单音调制3下, 调相指数$m_p=K_pA_m$, 表示最大的相位偏移
FM频率调制
频率调制指瞬时频率偏移随调制信号$m(t)$成比例变化, 即
$$ s_{FM}(t)=A \cos [\omega _c t + K_f \int_{- \infty }^{t} m(\tau) \mathrm{d} \tau ] $$在单音调制3下, 调频指数$m_f = \dfrac{K_fA_m}{\omega_m} = \dfrac{\Delta \omega }{\omega _m} = \dfrac{\Delta f}{f_m}$, 表示最大的相位偏移 $\Delta \omega = K_fA_m$ 为最大角频偏, $\Delta f = m_f \cdot f_m$为最大频偏
带宽:
$$ B _{FM} = 2(m_f +1)f_m = 2(\Delta f + f_m) $$已调信号功率为:
$$ P_{FM} = \frac{A^2}{2} = P_c $$抗噪声性能
在使用非相干解调, 大信噪比的条件下:
$$ G_{FM} = 3m_f^2(m_f+1) \approx 3m_f^3 $$FM系统采用预加重/去加重技术可以提高解调器输出信噪比
四 数字基带传输系统
1 数字基带信号
波形
| 波形 | 1 | 0 |
|---|---|---|
| 单极性不归零波形 | 正电平 | 0 |
| 双极性不归零波形 | 正电平 | 负电平 |
| 单极性归零波形 | 占空比非1的正电平 | 0 |
| 双极性归零波形 | 占空比非1的正电平 | 占空比非1的负电平 |
| 差分波形 | 相邻码元跳变 | 相邻码元不跳变 |
| 多电平波形 | 可用多个电平表示不同值 | / |
数字基带信号可表示为:
$$ s(t) = \sum _{n= - \infty }^{\infty } a_ng(t-nT_s) $$其中$a_n$为第$n$个码元对应电平值, $T_s$为码元持续时间, $g(t)$为某种脉冲波形
功率谱
双边功率谱密度为
$$ \begin{aligned} P_{s}\left( f\right) &=P_{u}\left( f\right) +P_{v}\left( f\right) \\ &=f_{s}P\left( 1-P\right) \lvert G_{1}\left( f\right) -G_{2}\left( f\right) \rvert ^{2} +\\ & \sum ^{\infty }_{m=-\infty } \lvert f_{s} [PG_1(mf_s)+(1-P)G_2(mf_s)] \rvert ^{2} \delta \left( f-mf_{s}\right) \end{aligned} $$其中$P_u(f)$为交变波功率谱密度, $P_v(f)$为稳态波功率谱密度, $P$为任一码元时间内$g_1(t)$出现的概率, $f_s=1/T_s$为码元速率, $G_1(t)和G_2(t)$为$g_1(t)和g_2(t)$的傅立叶变换
2 基带传输的常用码型
AMI码
传号交替反转码
将1交替变换为"+1"和"-1", 0保持不变
- 没有直流分量
- 连续0没有定时信息
HDB3码
三阶高密度双极性码
- 当连0个数小于4时与AMI编码相同
- 当连0个数超过3时, 将4个连0化作一小节, 定义为
B00V, 称为破坏节, V称为破坏脉冲(一定有), B称为调节脉冲(看情况) - V与前一个相邻的非0脉冲极性相同, 且相邻V码极性交替
- B用来调节使得3中的条件成立
- V与后一个非0脉冲极性也要交替
- 保证定时信息的提取
双相码
数字双相码又称曼彻斯特（Manchester）码
用一个周期的正负对称方波表示“0”(例如01)，而用其反相波形表示“1”(例如10)
- 带宽加倍
3 码间串扰
其它码元的波形蔓延到当前码元的抽样时刻上, 从而对当前码元的判决造成干扰
无码间串扰条件(奈奎斯特第一准则):
时域条件:
$$ h(kT_s) = \left\{\begin{matrix} 1, &k=0\\ 0, &k \ne 0的其他整数 \end{matrix}\right. $$$h(t)$仅在当前码元抽样时刻有值, 其它码元的抽样时刻均为0
频域条件:
$$ \sum _i H(\omega + \frac{2 \pi i}{T_s})=C, \lvert \omega \rvert \le \frac{\pi}{T_s} $$或者:
$$ \sum _i H(f + R_Bi)=C, \lvert f \rvert \le \frac{R_B}{2} $$将$H( \omega )$经过切割, 平移, 叠加后可以等效为一个理想低通滤波器
4 无码间串扰的传输特性设计
理想低通特性
传输特性:
$$ H( \omega ) = \left\{\begin{matrix} T_s, & \lvert \omega \rvert \le \frac{\pi}{T_s} \\ 0, & \lvert \omega \rvert > \frac{\pi}{T_s} \end{matrix}\right. $$冲击响应:
$$ h(t) = Sa(\frac{\pi t} {T_s}) $$带宽: (奈奎斯特带宽)
$$ B = W_1 = \frac{1}{2T_s}=f_N $$码元速率: (奈奎斯特速率)
$$ R_B=1/T_s=2f_N $$频带利用率:
$$ \eta = 2 \mathrm{Baud/Hz} $$余弦滚降特性
传输特性:
$$ H( \omega ) = \left\{\begin{matrix} T_s, & 0 \le \lvert \omega \rvert \le \frac{(1- \alpha )\pi}{T_s} \\ \frac{T_s}{2}[1+ \sin{\frac{T_s}{2 \alpha}(\frac{\pi}{T_s}- \omega )}], &\frac{(1- \alpha )\pi}{T_s} \le \lvert \omega \rvert < \frac{(1+ \alpha )\pi}{T_s} \\ 0, & \lvert \omega \rvert \ge \frac{(1+ \alpha )\pi}{T_s} \end{matrix}\right. $$冲击响应:
$$ h(t) = Sa(\frac{\pi t} {T_s}) \cdot \dfrac{\cos{ \alpha } \pi t / T_s}{1-4 \alpha ^2 t^2 / T_s^2} $$式中$\alpha$为滚降系数, 定义为
$$ \alpha = \frac{f_\Delta }{f_N} $$式中$f_N$为奈奎斯特带宽, $f_\Delta$为超出奈奎斯特带宽的扩展量
带宽:
$$ B= (1+\alpha )f_N $$码元速率同奈奎斯特速率:
$$ R_B=2f_N $$频带利用率:
$$ \eta = \frac{2}{1+ \alpha } $$5 抗干扰性能
二进制双极性基带系统
总误码率:
$$ P_e = P(1)P(0/1)+P(0)P(1/0) $$最佳门限电平: 4
$$ V_d^*=\frac{\sigma _n ^2}{2A} \ln{\frac{P(0)}{P(1)}} $$其中$\sigma _n ^2$为噪声平均功率
当$P(0)=P(1)=1/2$时有:
$$ \begin{aligned} V_d^* &= 0 \\ P_e &= \frac{1}{2}erfc(\frac{A}{\sqrt{2} \sigma _n } ) \end{aligned} $$二进制单极性基带系统
最佳门限电平: 4
$$ V_d^*= \frac{A}{2} + \frac{\sigma _n ^2}{A} \ln{\frac{P(0)}{P(1)}} $$当$P(0)=P(1)=1/2$时有:
$$ \begin{aligned} V_d^* &= \frac{A}{2} \\ P_e &= \frac{1}{2}erfc(\frac{A}{2\sqrt{2} \sigma _n } ) \end{aligned} $$6 眼图
7 部分响应系统
奈奎斯特第二准则: 人为地, 有规律地在码元的抽样时刻引入码间串扰, 并在接收端判决前加以消除, 从而达到改善频谱特性, 压缩传输频带, 使频带利用率提高到理论上最大值($2B/Hz$)
部分响应系统存在码间干扰。采用预编码, 相关编码方法可以消除差错传播问题。
例如: 差分码$b_k = a_k \oplus b_{k-1} \qquad \oplus$ 为模2加法
8 时域均衡
使用相近的几个码元进行某些运算作为判决的输入电平
提高基带传输系统的可靠性, 减小码间串扰。
五 数字带通传输系统
1 二进制数字调制
2ASK振幅键控
时域表达式:
$$ e_{2ASK}(t)= \sum _n a_n g(t-nT_s) \cos{\omega _c t} $$信号产生: 模拟相乘法和数字键控法 信号解调: 相干解调和非相干解调
第一零点带宽:
$$ B= 2f_s=2R_B $$抗干扰性能:
相干解调最佳判决门限与误码率为
$$ \begin{aligned} b^* &= \frac{a}{2} \\ P_e &= \frac{1}{2} erfc( \sqrt{\frac{r}{4}}) \approx \frac{1}{\sqrt{\pi r}}e^{-\frac{r}{4}} \end{aligned} $$ 非相干解调最佳判决门限与误码率为
$$ \begin{aligned} b^* &= \left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{r}{2}} & r \gg 1 \\ \sqrt{2} & r \ll 1 \end{matrix}\right. \\ P_e &= \frac{1}{2}e^{-\frac{r}{4}} \end{aligned} $$其中$r=\frac{a^2}{2\sigma ^2}=\frac{S_i}{N_i}$为信噪比
2FSK频移键控
时域表达式:
$$ e_{2FSK}(t)=\left\{\begin{matrix} A \cos{(\omega _1 t+\phi _n)}, & 发送1时 \\ A \cos{(\omega _2 t+\theta _n)}, & 发送0时 \end{matrix}\right. $$信号产生: 模拟相乘法和数字键控法 信号解调: 相干解调, 非相干解调, 过零检测法, 差分检波法
第一零点带宽:
$$ B=\lvert f_2 - f_1 \rvert +2f_s $$抗干扰性能
相干解调
$$ P_e = \frac{1}{2} erfc( \sqrt{\frac{r}{2}}) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi r}}e^{-\frac{r}{2}} $$ 非相干解调
$$ P_e = \frac{1}{2}e^{-\frac{r}{2}} $$2PSK相移键控
时域表达式:
$$ e_{2PSK}(t)=\left\{\begin{matrix} A \cos{(\omega _c t)}, & 发送概率为P \\ -A \cos{(\omega _c t)}, & 发送概率为1-P \end{matrix}\right. $$信号产生: 模拟相乘法和数字键控法 信号解调: 相干解调
第一零点带宽:
$$ B = 2f_s =2R_B $$抗干扰性能:
相干解调
$$ P_e = \frac{1}{2} erfc( \sqrt{r}) $$2DPSK差分相移键控
时域表达式同2PSK
信号产生: 码变换+模拟相乘法 和 码变换+数字键控法 信号解调: 相干解调+码反变换法 和 差分相干解调法
第一零点带宽同2PSK
抗干扰性能:
相干解调
$$ P_e = erfc( \sqrt{r}) $$ 非相干解调
$$ P _e = \frac {1}{2} e^{-r} $$性能比较
| 调制方式 | 误码率 | ||
| 相干解调 | 非相干解调 | ||
| 通式 | 大信噪比 | ||
| 2ASK | $ \frac{1}{2} erfc( \sqrt{\frac{r}{4}}) $ | $\frac{1}{\sqrt{\pi r}}e^{-\frac{r}{4}} $ | $\frac{1}{2}e^{-\frac{r}{4}}$ |
| 2FSK | $\frac{1}{2} erfc( \sqrt{\frac{r}{2}})$ | $ \frac{1}{\sqrt{2\pi r}}e^{-\frac{r}{2}}$ | $\frac{1}{2}e^{-\frac{r}{2}}$ |
| 2PSK | $\frac{1}{2} erfc( \sqrt{r})$ | $\frac{1}{\sqrt{4\pi r}}e^{-r}$ | |
| 2DPSK | $erfc( \sqrt{r})$ | $\frac{1}{\sqrt{\pi r}}e^{-r}$ | $\frac{1}{2}e^{-r}$ |
2 多进制数字调制系统
$$ R_b=R_B \log _2 M $$在相同的码元速率下，多进制信息速率比二进制系统高；在相同信息速率下，多进制传输速率比二进制低，即$T_S$加大，码元能量增加，能减小由于信道特性引起的码间干扰的影响。
信源编码
模数转换步骤: 抽样, 量化, 编码
模拟信号的抽样
抽样定理: 能恢复原信号的最小抽样速率为:
$$ \begin{aligned} 低通信号: & \qquad f_s=2f_H \\ 带通信号: & \qquad f_s \approx 2B = 2(f_H-f_L) \end{aligned} $$PAM模拟脉冲调制
PAM 是脉冲载波的幅度随调制信号变化的一种调制方式，它是一种模拟调制方式。
抽样方式分为抽样的平顶抽样和自然抽样。
量化
均匀量化
设模拟抽样信号取值范围在$a$到$b$之间, 量化电平数为$M$, 则量化间隔为:
$$ \Delta v = \frac{b-a}{M} $$信号$m_k$的平均功率可表示为:
$$ S_0 = E(m_k^2) = \int _a ^b m_k^2 f(m_k) \mathrm{d}m_k $$其中$f(m_k)$为信号抽样值$m_k$的概率密度
均匀量化在小信号情况下信噪比小
非均匀量化
为了提高小信号的量化信噪比
先将信号抽样值压缩, 再进行均匀量化
13折A律编码
$$ y=\left\{\begin{matrix} \frac{Ax}{1+\ln A} & 015折μ律编码
$$ y=\frac{\ln (1+ \mu x)}{\ln (1+ \mu )} \qquad \mu=255 $$PCM脉冲编码调制
模拟信号抽样, 量化, 变换成二进制符号的基本过程
PCM编码使用折叠二进制码5
A律13折的8位编码
设抽样脉冲值为$n$, 编码为$C[ 7:0]$
则$C$的定义为
- $C[7]=(n>0)$
- $C[6:4]=x$满足$2^{(x+3)} \le n < 2^{(x+4)}\; (n \ge 16)或x=0 \; (n<16)$
- $C[3:0]=y$满足$2^{(x+3)}+y \cdot 2^{(x-1)}$是距离$n$最近的值
| 量化段序号 | 电平范围(Δ) | 段落码 | 段落起始电平(Δ) | 16均匀量化间隔(Δ) |
|---|---|---|---|---|
| 8 | 1024~2048 | 1 1 1 | 1024 | 64 |
| 7 | 512~1024 | 1 1 0 | 512 | 32 |
| 6 | 256~512 | 1 0 1 | 256 | 16 |
| 5 | 128~256 | 1 0 0 | 128 | 8 |
| 4 | 64~128 | 0 1 1 | 64 | 4 |
| 3 | 32~64 | 0 1 0 | 32 | 2 |
| 2 | 16~32 | 0 0 1 | 16 | 1 |
| 1 | 0~16 | 0 0 0 | 0 | 1 |
量化误差: 抽样值与量化电平之差的绝对值
均匀量化11位码: 即量化电平的11位二进制值
均匀量化12位码: 均匀量化11位码最后加个0 (将分度值由△细化为1/2△)
码元速率:
$$ R_b = f_s \cdot N $$其中$f_s$为抽样速率, $N$为编码二进制位数
奈奎斯特带宽:
$$ B = \frac{R_b}{2} = \frac{f_s \cdot N}{2} $$第一零点带宽:
$$ B = \frac{1}{\tau} = \frac{R_b}{ \eta } $$其中$\eta$为传输矩形波占空比
△M增量调制
增量调制的最大跟踪斜率:
$$ K = \sigma \cdot f_s $$TDM时分复用
TDM是利用时间分片方式来实现在同一信道中传输多路信号的一种方法
差错控制编码
是一种信道编码技术，目的是提高系统的可靠性。
注意与信源编码的比较，信源编码目的是提高通信系统的有效性
差错控制编码的方式：检错重发、前向纠错、反馈校验和检错删除。
- 码重：码组中非“0”码元数目称为码重
- 码距：两个码字中对应位上数字不同的位数称为码距
- 最小码距：某种编码中各个码组之间距离的最小值, 记为$d_0$
- 最小码距与检纠错能力的关系
- 检出$e$个错误，要求：$d_0 \ge e+1$
- 纠正$t$个错误，要求：$d_0 \ge 2t+1$
- 检出$e$个错误，纠正$t$个错误，$e>t$，要求：$d_0 \ge e+t+1$
- 编码效率：(n, k)为分组码，其中k是信息元的个数，n为码长，则编码效率为$\frac{k}{n}$
简单的差错控制编码
奇偶监督码(RS-232)、二维奇偶监督码和恒比码。其它常用差错控制码有商品条形码、QR二维码（手机扫码）、身份证号码、累加和校验。
线性分组码
汉明码
一种能够纠正一位错码且编码效率较高的线性分组码
$(n,k)$的分组码中, $k$是信息元的个数, $n$为码长, $r=n-k$为监督位个数. 需满足:
$$ 2^r-1 \ge n \qquad 或 \qquad 2^r \ge k+r+1 $$构造关系
以$(7,3)$分组码为例:
记码元为$a_6a_5 \dots a_0$, 其中$a_6a_5a_4a_3$为信息位, $a_2a_1a_0$为监督位
编码时应满足:
$$ \left\{\begin{matrix} a_2=a_6 \oplus a_5 \oplus a_4 \\ a_1=a_6 \oplus a_5 \oplus a_3 \\ a_0=a_6 \oplus a_4 \oplus a_3 \end{matrix}\right. $$解码时计算校正子:
$$ \left\{\begin{matrix} S_1=a_2 \oplus a_6 \oplus a_5 \oplus a_4 \\ S_2=a_1 \oplus a_6 \oplus a_5 \oplus a_3 \\ S_3=a_0 \oplus a_6 \oplus a_4 \oplus a_3 \end{matrix}\right. $$| $S_1S_2S_3$ | 错码位置 | $S_1S_2S_3$ | 错码位置 |
|---|---|---|---|
| 001 | $a_0$ | 101 | $a_4$ |
| 010 | $a_1$ | 110 | $a_5$ |
| 100 | $a_2$ | 111 | $a_6$ |
| 011 | $a_3$ | 000 | 无 |
矩阵形式
监督关系可表示为:
$$ \mathbf{H^T \cdot A = 0^T} $$其中$\mathbf{H}$为$n \times k$的监督矩阵, $\mathbf{A}=[a_{(k-1)} a_{(k-2)} \dots a_0]$
典型监督矩阵:
$$ \mathbf{H = [PI_r]} $$其中$\mathbf{P} $为 $r \times k$的矩阵, $\mathbf{I_r}$为$r \times r$的单位方阵
典型生成矩阵:
$$ \mathbf{G = [I_k Q]} $$其中$\mathbf{I_k}$为$k \times k$阶单位方阵, $\mathbf{Q=P^T}$
由生成矩阵可以得出整个码组:
$$ \mathbf{A = MG} $$校正子:
$$ \mathbf{S = B H^T} $$性质
- 具有封闭性，即任意两个许用码组之和仍为一许用码组
- 最小码距等于码组非全零码组的最小码重
循环码
循环码是线性分组码的子类，它除了具有分组码的一般性质外，还具有循环性质，即循环性是指任一码组循环一位以后，仍然是该码中的一个码组。
生成多项式
$$ g(x) = a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \dots + a_1x + a_0 $$生成多项式$g(x)$的性质: (用于判断$g(x)$)
- $g(x)$是$(n-k)$次多项式
- $g(x)$的常数项不为零
- $g(x)$是$(x^n+1)$的一个因式
生成矩阵
$$ \mathbf{G}(x)= \begin{bmatrix} x^{k-1}g(x) \\ x^{k-2}g(x) \\ \vdots \\ xg(x) \\ g(x) \end{bmatrix} $$编码方法
- $x^{n-k} \times m(x)$
- $g(x) \div (x^{n-k} \times m(x))$得到商式$Q(x)$和余式$r(x)$
- 输出编码$T(x) = x^{n-k}m(x) + r(x)$
同步原理
载波同步
有辅助导频
锁相环PLL
无辅助导频
平方环法
**相位含糊问题：**在平方环法提取载波时，由于分频器的随机状态的不确定性， 其输出载波电压有180°相位差的可能性，这种现象称为相位含糊。科斯塔斯环 法也存在相位含糊问题。对于相位调制，解决相位含糊问题的方法是差分相移。
科斯塔斯环(Costas)
再调制法
码元同步
外同步
插入导频, 接收端使用窄带滤波器提取
自同步法
开环码元同步法
闭环码元同步法
群同步
集中插入
集中插入在信息码组的前头, 要求同步码的自相关特性曲线具有尖锐的单峰特性，以便容易从接收码元序列中识别出来
分散插入
较短
